CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Vectơ trong không gian

2

Tổng và hiệu của hai vectơ

3

Tích của một số với một vectơ

4

Tích vô hướng của hai vectơ

1. VECTƠ TRONG
KHÔNG GIAN

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA
HAI VECTƠ

2.1. TỔNG CỦA
HAI VECTƠ

Tổng của hai vectơ
 Hoạt động : Cho hình hộp (Hình 5).
a) Trong mặt phẳng , tìm vectơ tổng 
Trong mặt phẳng , tìm vectơ tổng .
b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ và ,  và  và

Giải

a) Ta có:  ;

b) Ta có: ; ;

Kết luận
Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm bất kì và hai
điểm sao cho . Ta gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu .
Phép lấy tổng của hai vectơ được
gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét:
Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng
vectơ trong mặt phẳng.
• Tính chất giao hoán:
• Tính chất kết hợp:
• Với mọi vectơ , ta luôn có:

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ
là:

Quy tắc ba điểm, quy tắc hình
bình hành vẫn đúng với các
vectơ trong không gian.
• Với ba điểm ta có
• Nếu là hình bình hành thì ta
có

Ví dụ : Cho hình lăng trụ . Tìm các vectơ tổng
Giải
Ta có là hình lăng trụ nên là hình bình hành, suy ra .
Do đó
Tương tự, ta cũng có là hình bình hành, suy ra
Do đó

Quy tắc hình hộp
 Hoạt động: Cho hình hộp .
a) Tìm các vectơ tổng .
b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của
phép cộng vectơ để chứng minh .

Giải
a) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
b) Ta có:

Kết luận
Cho hình hộp .
Ta có:

Ví dụ : Cho hình hộp . Tìm các vectơ:
a)

b)

Giải
a) Theo quy tắc hình hộp, ta có
b) Ta có
Suy ra:
Theo quy tắc hình hộp, ta có
Vậy .

Thực hành 1
Giải:

Cho hình hộp . Tìm các vectơ:
a)  

b)  .

a)

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Thực hành 2
Giải:

Cho hình hộp . Tìm các vectơ:
a)  

b)  .

b)
Ta có:  
Khi đó,

(Quy tắc hình hộp)

LUYỆN TẬP

• Với ba điểm ta có

• Nếu là hình bình hành thì ta có

Cho hình hộp .
Ta có: